Chow Rings, Decomposition of the Diagonal, and the Topology of Families (AM-187)

Author: Claire Voisin

Publisher: Princeton University Press

ISBN: 1400850533

Category: Mathematics

Page: 176

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In this book, Claire Voisin provides an introduction to algebraic cycles on complex algebraic varieties, to the major conjectures relating them to cohomology, and even more precisely to Hodge structures on cohomology. The volume is intended for both students and researchers, and not only presents a survey of the geometric methods developed in the last thirty years to understand the famous Bloch-Beilinson conjectures, but also examines recent work by Voisin. The book focuses on two central objects: the diagonal of a variety—and the partial Bloch-Srinivas type decompositions it may have depending on the size of Chow groups—as well as its small diagonal, which is the right object to consider in order to understand the ring structure on Chow groups and cohomology. An exploration of a sampling of recent works by Voisin looks at the relation, conjectured in general by Bloch and Beilinson, between the coniveau of general complete intersections and their Chow groups and a very particular property satisfied by the Chow ring of K3 surfaces and conjecturally by hyper-Kähler manifolds. In particular, the book delves into arguments originating in Nori's work that have been further developed by others.

Chow Rings, Decomposition of the Diagonal, and the Topology of Families

Author: Claire Voisin

Publisher: Annals of Mathematics Studies

ISBN: 9780691160504

Category: Mathematics

Page: 162

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In this book, Claire Voisin provides an introduction to algebraic cycles on complex algebraic varieties, to the major conjectures relating them to cohomology, and even more precisely to Hodge structures on cohomology. The volume is intended for both students and researchers, and not only presents a survey of the geometric methods developed in the last thirty years to understand the famous Bloch-Beilinson conjectures, but also examines recent work by Voisin. The book focuses on two central objects: the diagonal of a variety--and the partial Bloch-Srinivas type decompositions it may have depending on the size of Chow groups--as well as its small diagonal, which is the right object to consider in order to understand the ring structure on Chow groups and cohomology. An exploration of a sampling of recent works by Voisin looks at the relation, conjectured in general by Bloch and Beilinson, between the coniveau of general complete intersections and their Chow groups and a very particular property satisfied by the Chow ring of K3 surfaces and conjecturally by hyper-Kähler manifolds. In particular, the book delves into arguments originating in Nori's work that have been further developed by others.

The Fourier Transform for Certain HyperKahler Fourfolds

Author: Mingmin Shen,Charles Vial

Publisher: American Mathematical Soc.

ISBN: 1470417405

Category: Fourier transformations

Page: 161

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Using a codimension-1 algebraic cycle obtained from the Poincaré line bundle, Beauville defined the Fourier transform on the Chow groups of an abelian variety A and showed that the Fourier transform induces a decomposition of the Chow ring CH∗(A). By using a codimension-2 algebraic cycle representing the Beauville-Bogomolov class, the authors give evidence for the existence of a similar decomposition for the Chow ring of Hyperkähler varieties deformation equivalent to the Hilbert scheme of length-2 subschemes on a K3 surface. They indeed establish the existence of such a decomposition for the Hilbert scheme of length-2 subschemes on a K3 surface and for the variety of lines on a very general cubic fourfold.

Surveys on Recent Developments in Algebraic Geometry

Author: Izzet Coskun,Tommaso de Fernex,Angela Gibney

Publisher: American Mathematical Soc.

ISBN: 1470435578

Category: $K$-theory -- Higher algebraic $K$-theory -- $Q$- and plus-constructions

Page: 370

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The algebraic geometry community has a tradition of running a summer research institute every ten years. During these influential meetings a large number of mathematicians from around the world convene to overview the developments of the past decade and to outline the most fundamental and far-reaching problems for the next. The meeting is preceded by a Bootcamp aimed at graduate students and young researchers. This volume collects ten surveys that grew out of the Bootcamp, held July 6–10, 2015, at University of Utah, Salt Lake City, Utah. These papers give succinct and thorough introductions to some of the most important and exciting developments in algebraic geometry in the last decade. Included are descriptions of the striking advances in the Minimal Model Program, moduli spaces, derived categories, Bridgeland stability, motivic homotopy theory, methods in characteristic and Hodge theory. Surveys contain many examples, exercises and open problems, which will make this volume an invaluable and enduring resource for researchers looking for new directions.

Trends in Contemporary Mathematics

Author: Vincenzo Ancona,Elisabetta Strickland

Publisher: Springer

ISBN: 3319052543

Category: Mathematics

Page: 307

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The topics faced in this book cover a large spectrum of current trends in mathematics, such as Shimura varieties and the Lang lands program, zonotopal combinatorics, non linear potential theory, variational methods in imaging, Riemann holonomy and algebraic geometry, mathematical problems arising in kinetic theory, Boltzmann systems, Pell's equations in polynomials, deformation theory in non commutative algebras. This work contains a selection of contributions written by international leading mathematicians who were speakers at the "INdAM Day", an initiative born in 2004 to present the most recent developments in contemporary mathematics.

The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves

A Publication of the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn

Author: Daniel Huybrechts,Manfred Lehn

Publisher: Vieweg+Teubner Verlag

ISBN: 9783663116257

Category: Technology & Engineering

Page: 270

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This book is intended to serve as an introduction to the theory of semistable sheaves and at the same time to provide a survey of recent research results on the geometry of moduli spaces. The first part introduces the basic concepts in the theory: Hilbert polynomial, slope, stability, Harder-Narasimhan filtration, Grothendieck's Quot-scheme. It presents detailed proofs of the Grauert-Mülich Theorem, the Bogomolov Inequality, the semistability of tensor products, and the boundedness of the family of semistable sheaves. It also gives a self-contained account of the construction of moduli spaces of semistable sheaves on a projective variety à la Gieseker, Maruyama, and Simpson. The second part presents some of the recent results of the geometry of moduli spaces of sheaves on an algebraic surface, following work of Mukai, O'Grady, Gieseker, Li and many others. In particular, moduli spaces of sheaves on K3 surfaces and determinant line bundles on the moduli spaces are treated in some detail. Other topics include the Serre correspondence, restriction of stable bundles to curves, symplectic structures, irreducibility and Kodaira-dimension of moduli spaces.

Numerische Mathematik 1

Author: A. Quarteroni,R. Sacco,F. Saleri

Publisher: Springer

ISBN: 9783540678786

Category: Mathematics

Page: 370

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Numerische Mathematik ist ein zentrales Gebiet der Mathematik, das für vielfältige Anwendungen die Grundlage bildet und das alle Studierenden der Mathematik, Ingenieurwissenschaften, Informatik und Physik kennenlernen. Das vorliegende Lehrbuch ist eine didaktisch exzellente, besonders sorgfältig ausgearbeitete Einführung für Anfänger. Eines der Ziele dieses Buches ist es, die mathematischen Grundlagen der numerischen Methoden zu liefern, ihre grundlegenden theoretischen Eigenschaften (Stabilität, Genauigkeit, Komplexität)zu analysieren, und ihre Leistungsfähigkeit an Beispielen und Gegenbeispielen mittels MATLAB zu demonstrieren. Die besondere Sorgfalt, die den Anwendungen und betreffenden Softwareentwicklungen gewidmet wurde, macht das vorliegende Werk auch für Studenten mit abgeschlossenem Studium, Wissenschaftler und Anwender des wissenschaftlichen Rechnens in vielen Berufsfeldern zu einem unverzichtbaren Arbeitsmittel.

Globale Analysis

Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik

Author: Ilka Agricola,Thomas Friedrich

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3322929035

Category: Mathematics

Page: 283

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Das Anliegen des Buches ist es, die klassische Vektoranalysis unter Verwendung der Differentialformen darzulegen. Anwendungen der allgemeinen Stokeschen Formel in Analysis, Geometrie und Topologie werden besprochen. In weiteren Teilen des Buches werden die Integrierbarkeit Pfaffscher Systeme, die Flächentheorie in Euklidischen Räumen sowie Elemente der Lie-Gruppen, Mechanik, Thermodynamik und Elektrodynamik unter Verwendung der Differentialformen behandelt.

Zahlentheorie

Algebraische Zahlen und Funktionen

Author: Helmut Koch

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3322803120

Category: Mathematics

Page: 344

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Hauptziel des Buches ist die Vermittlung des Grundbestandes der Algebraischen Zahlentheorie einschließlich der Theorie der normalen Erweiterungen bis hin zu einem Ausblick auf die Klassenkörpertheorie. Gleichberechtigt mit algebraischen Zahlen werden auch algebraische Funktionen behandelt. Dies geschieht einerseits um die Analogie zwischen Zahl- und Funktionenkörpern aufzuzeigen, die besonders deutlich im Falle eines endlichen Konstantenkörpers ist. Andererseits erhält man auf diese Weise eine Einführung in die Theorie der "höheren Kongruenzen" als eines wesentlichen Bestandteils der "Arithmetischen Geometrie". Obgleich das Buch hauptsächlich algebraischen Methoden gewidmet ist, findet man in der Einleitung auch einen kurzen Beweis des Primzahlsatzes nach Newman. In den Kapiteln 7 und 8 wird die Theorie der Heckeschen L-Reihen behandelt einschließlich der Verteilung der Primideale algebraischer Zahlkörper in Kegeln.

Briefe

Author: Georg Cantor

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3642743447

Category: Mathematics

Page: 535

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Das Buch enthält 185 vollständige chronologisch geordnete Briefe Cantors aus den verschiedenen Perioden seines Lebens, von denen ein großer Teil erstmals veröffentlicht wird. Aus ihnen wird die Entwicklung des Cantorschen Werkes ebenso deutlich wie die Stellung zu seinen Kollegen und das Ringen um die Anerkennung seiner Theorie. Durch die Vollständigkeit der Briefe und die damit verbundene Einbeziehung auch privater Passagen gewinnt man darüber hinaus Einblicke in Bereiche dieses Forscherlebens, ohne die man die vielschichtige Persönlichkeit Cantors kaum annähernd erfassen kann. Man erkennt, daß manches an dem bisherigen "Cantorbild" revisionsbedürftig ist oder zumindest differenzierter gesehen werden muß. Die den Briefen beigegebenen ergänzenden und erläuternden Kommentare enthalten häufig Passagen aus Antwortschreiben oder weiteren Briefen Cantors, die für das Verständnis der behandelten Sachverhalte hilfreich sind oder sogar neue Aspekte erkennen lassen. Ferner weisen sie auf Zusammenhänge zwischen den Briefen hin. Eine so ausgiebige Kommentierung ist bei wissenschaftlichen Briefsammlungen nicht sehr verbreitet. Ebenfalls hervorzuheben ist das sorgfältig zusammengestellte Sachverzeichnis, das zugleich Hinweise auf die in den Briefen behandelten Themen gibt. Man gewinnt mit diesem Werk eine "Autobiographie" Cantors, die zusammen mit den von Zermelo herausgegebenen "Gesammelten Abhandlungen" (auf die häufig verwiesen wird) ein umfassendes Bild von Leben und Werk dieses großen Forschers liefert.

Georg Cantor

Author: Hans Joachim Ilgauds

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3322822257

Category: Technology & Engineering

Page: 135

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