Slicing the Truth

On the Computable and Reverse Mathematics of Combinatorial Principles

Author: Denis R Hirschfeldt

Publisher: World Scientific

ISBN: 9814612634

Category: Mathematics

Page: 232

View: 2283

This book is a brief and focused introduction to the reverse mathematics and computability theory of combinatorial principles, an area of research which has seen a particular surge of activity in the last few years. It provides an overview of some fundamental ideas and techniques, and enough context to make it possible for students with at least a basic knowledge of computability theory and proof theory to appreciate the exciting advances currently happening in the area, and perhaps make contributions of their own. It adopts a case-study approach, using the study of versions of Ramsey's Theorem (for colorings of tuples of natural numbers) and related principles as illustrations of various aspects of computability theoretic and reverse mathematical analysis. This book contains many exercises and open questions. Contents:Setting Off: An IntroductionGathering Our Tools: Basic Concepts and NotationFinding Our Path: König's Lemma and ComputabilityGauging Our Strength: Reverse MathematicsIn Defense of DisarrayAchieving Consensus: Ramsey's TheoremPreserving Our Power: ConservativityDrawing a Map: Five DiagramsExploring Our Surroundings: The World Below RT22Charging Ahead: Further TopicsLagniappe: A Proof of Liu's Theorem Readership: Graduates and researchers in mathematical logic. Key Features:This book assumes minimal background in mathematical logic and takes the reader all the way to current research in a highly active areaIt is the first detailed introduction to this particular approach to this area of researchThe combination of fully worked out arguments and exercises make this book well suited to self-study by graduate students and other researchers unfamiliar with the areaKeywords:Reverse Mathematics;Computability Theory;Computable Mathematics;Computable Combinatorics

Induction, Bounding, Weak Combinatorial Principles, and the Homogeneous Model Theorem

Author: Denis R. Hirschfeldt,Karen Lange,Richard A. Shore

Publisher: American Mathematical Soc.

ISBN: 1470426579

Category: Computable functions

Page: 101

View: 6754

Goncharov and Peretyat'kin independently gave necessary and sufficient conditions for when a set of types of a complete theory is the type spectrum of some homogeneous model of . Their result can be stated as a principle of second order arithmetic, which is called the Homogeneous Model Theorem (HMT), and analyzed from the points of view of computability theory and reverse mathematics. Previous computability theoretic results by Lange suggested a close connection between HMT and the Atomic Model Theorem (AMT), which states that every complete atomic theory has an atomic model. The authors show that HMT and AMT are indeed equivalent in the sense of reverse mathematics, as well as in a strong computability theoretic sense and do the same for an analogous result of Peretyat'kin giving necessary and sufficient conditions for when a set of types is the type spectrum of some model.

Foundations of Mathematics

Author: Andrés Eduardo Caicedo,James Cummings,Peter Koellner,Paul B. Larson

Publisher: American Mathematical Soc.

ISBN: 1470422565

Category: Continuum hypothesis

Page: 322

View: 1562

This volume contains the proceedings of the Logic at Harvard conference in honor of W. Hugh Woodin's 60th birthday, held March 27–29, 2015, at Harvard University. It presents a collection of papers related to the work of Woodin, who has been one of the leading figures in set theory since the early 1980s. The topics cover many of the areas central to Woodin's work, including large cardinals, determinacy, descriptive set theory and the continuum problem, as well as connections between set theory and Banach spaces, recursion theory, and philosophy, each reflecting a period of Woodin's career. Other topics covered are forcing axioms, inner model theory, the partition calculus, and the theory of ultrafilters. This volume should make a suitable introduction to Woodin's work and the concerns which motivate it. The papers should be of interest to graduate students and researchers in both mathematics and philosophy of mathematics, particularly in set theory, foundations and related areas.

Reverse Mathematics

Proofs from the Inside Out

Author: John Stillwell

Publisher: Princeton University Press

ISBN: 1400889030

Category: Mathematics

Page: 200

View: 619

This book presents reverse mathematics to a general mathematical audience for the first time. Reverse mathematics is a new field that answers some old questions. In the two thousand years that mathematicians have been deriving theorems from axioms, it has often been asked: which axioms are needed to prove a given theorem? Only in the last two hundred years have some of these questions been answered, and only in the last forty years has a systematic approach been developed. In Reverse Mathematics, John Stillwell gives a representative view of this field, emphasizing basic analysis—finding the “right axioms” to prove fundamental theorems—and giving a novel approach to logic. Stillwell introduces reverse mathematics historically, describing the two developments that made reverse mathematics possible, both involving the idea of arithmetization. The first was the nineteenth-century project of arithmetizing analysis, which aimed to define all concepts of analysis in terms of natural numbers and sets of natural numbers. The second was the twentieth-century arithmetization of logic and computation. Thus arithmetic in some sense underlies analysis, logic, and computation. Reverse mathematics exploits this insight by viewing analysis as arithmetic extended by axioms about the existence of infinite sets. Remarkably, only a small number of axioms are needed for reverse mathematics, and, for each basic theorem of analysis, Stillwell finds the “right axiom” to prove it. By using a minimum of mathematical logic in a well-motivated way, Reverse Mathematics will engage advanced undergraduates and all mathematicians interested in the foundations of mathematics.

Computability and Complexity

Essays Dedicated to Rodney G. Downey on the Occasion of His 60th Birthday

Author: Adam Day,Michael Fellows,Noam Greenberg,Bakhadyr Khoussainov,Alexander Melnikov,Frances Rosamond

Publisher: Springer

ISBN: 3319500627

Category: Computers

Page: 755

View: 3796

This Festschrift is published in honor of Rodney G. Downey, eminent logician and computer scientist, surfer and Scottish country dancer, on the occasion of his 60th birthday. The Festschrift contains papers and laudations that showcase the broad and important scientific, leadership and mentoring contributions made by Rod during his distinguished career. The volume contains 42 papers presenting original unpublished research, or expository and survey results in Turing degrees, computably enumerable sets, computable algebra, computable model theory, algorithmic randomness, reverse mathematics, and parameterized complexity, all areas in which Rod Downey has had significant interests and influence. The volume contains several surveys that make the various areas accessible to non-specialists while also including some proofs that illustrate the flavor of the fields.

Kombinatorische Optimierung

Theorie und Algorithmen

Author: Bernhard Korte,Jens Vygen

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3540769196

Category: Mathematics

Page: 675

View: 6340

Das Lehrbuch ist die deutsche Übersetzung der 4., wesentlich erweiterten Auflage des Titels „Combinatorial Optimization – Theory and Algorithms". Es gibt den neuesten Stand der kombinatorischen Optimierung wieder und liefert vornehmlich theoretische Resultate und Algorithmen mit beweisbar guten Laufzeiten und Ergebnissen, jedoch keine Heuristiken. Enthalten sind vollständige Beweise, auch für viele tiefe und neue Resultate, von denen einige bisher in der Lehrbuchliteratur noch nicht erschienen sind. Mit Übungen und umfassendem Literaturverzeichnis.

Die Grundlagen der Mathematik

Author: David Hilbert

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3663161021

Category: Mathematics

Page: 29

View: 1602

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Lehr- und Wanderjahre eines Mathematikers

Aus dem Französischen von Theresia Übelhör

Author: André Weil

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3034850476

Category: Science

Page: 212

View: 5888

Mein Leben, oder zumindest das, was diesen Namen verdient -ein außer gewöhnlich glückliches Leben mit einigen Schicksalsschlägen -erstreckte sich auf die Zeit zwischen dem 6. Mai 1906, dem Tag meiner Geburt, und dem 24. Mai 1986, dem Todestag meiner Frau und Gefährtin Eveline. Wenn auf diesen Seiten, die ihr gewidmet sind, von meiner Frau recht wenig die Rede sein wird, heißt das nicht, daß sie in meinem Leben und in meinen Gedanken einen geringen Platz eingenommen hätte. Sie war im Gegenteil, beinahe vom Tag unserer ersten Begegnung an, so eng damit verwoben, daß von mir oder von ihr zu sprechen ein und dasselbe ist. Ihre Anwesenheit beziehungsweise ihre Abwesenheit bestimmte die Textur meines ganzen Lebens. Was könnte ich anderes dazu sagen, als daß unsere Ehe eine von jenen war, die La Rochefoucauld Lügen strafen? »Fulsere vere candidi mihi soles . . . . « Ebenso wird meine Schwester kaum erwähnt werden. Es ist schon lange her, daß ich meine Erinnerungen an sie Simone Petrement mitgeteilt habe, die sie in ihre gute Biographie La vie de Simone Weil einfließen ließ, wo man viele Einzelheiten über unsere gemeinsame Kindheit erfahren kann, und es wäre unnötig, dies hier zu wiederholen. Als Kinder waren wir unzertrennlich, aber ich war der große Bruder und sie die kleine Schwester. Später waren wir selten zusammen, und meist sprachen wir in scherzhaftem Ton miteinander, denn sie hatte ein fröhliches und humorvolles Naturell, wie alle, die sie kannten, bestätigt haben.

Grundlagen zur Neuroinformatik und Neurobiologie

The Computational Brain in deutscher Sprache

Author: Patricia S. Churchland,Terrence J. Sejnowski

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3322868214

Category: Technology & Engineering

Page: 702

View: 6354

The Computational Brain, das außergewöhnliche Buch über vergleichende Forschung in den Bereichen von menschlichem Gehirn und neuesten Möglichkeiten der Computertechnologie, liegt hiermit erstmals in deutscher Sprache vor. Geschrieben von einem führenden Forscherteam in den USA, ist es eine Fundgrube für alle, die wissen wollen, was der Stand der Wissenschaft auf diesem Gebiet ist. Die Autoren führen die Bereiche der Neuroinformatik und Neurobiologie mit gut ausgesuchten Beispielen und der gebotenen Hintergrundinformation gekonnt zusammen. Das Buch wird somit nicht nur dem Fachwissenschaftler sondern auch dem interdisziplinären Interesse des Informatikers und des Biologen auf eine hervorragende Weise gerecht. Übersetzt wurde das Buch von Prof. Dr. Steffen Hölldobler und Dipl.-Biol. Claudia Hölldobler, einem Informatiker und einer Biologin. Rezension in Spektrum der Wissenschaft nr. 10, S. 122 f. im Oktober 1997 (...) Die 1992 erschienene amerikanische Originalausgabe des vorliegenden Werkes ist so erfolgreich, daß man bereits von einem Klassiker reden kann. (...) (...) das Buch sehr zu empfehlen. In Verbindung von Neurobiologie und Neuroinformatik konkurrenzlos, vermittelt es einiges von der Faszination theoretischer Hirnforschung, die auch in Deutschland zunehmend mehr Wissenschaftler in ihren Bann schlägt. Rezension erschienen in: Computer Spektrum 3/1997, S. 2 (...)Das Buch wird somit nicht nur dem Fachwissenschaftler, sondern auch den interdisziplinären Interesse des Informatikers und des Biologen auf eine hervorragende Weise gerecht(...)

Bernhard Riemann 1826–1866

Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik

Author: Detlef Laugwitz

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3034889836

Category: Mathematics

Page: 348

View: 2446

Das Riemannsche Integral lernen schon die Schüler kennen, die Theorien der reellen und der komplexen Funktionen bauen auf wichtigen Begriffsbildungen und Sätzen Riemanns auf, die Riemannsche Geometrie ist für Einsteins Gravitationstheorie und ihre Erweiterungen unentbehrlich, und in der Zahlentheorie ist die berühmte Riemannsche Vermutung noch immer offen. Riemann und sein um fünf Jahre jüngerer Freund Richard Dedekind sahen sich als Schüler von Gauss und Dirichlet. Um die Mitte des 19. Jahrhunderts leiteten sie den Übergang zur "modernen Mathematik" ein, der eine in Analysis und Geometrie, der andere in der Algebra mit der Hinwendung zu Mengen und Strukturen. Dieses Buch ist der erste Versuch, Riemanns wissenschaftliches Werk unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zusammenzufassend darzustellen. Riemann gilt als einer der Philosophen unter den Mathematikern. Er stellte das Denken in Begriffen neben die zuvor vorherrschende algorithmische Auffassung von der Mathematik, welche die Gegenstände der Untersuchung, in Formeln und Figuren, in Termumformungen und regelhaften Konstruktionen als die allein legitimen Methoden sah. David Hilbert hat als Riemanns Grundsatz herausgestellt, die Beweise nicht durch Rechnung, sondern lediglich durch Gedanken zu zwingen. Hermann Weyl sah als das Prinzip Riemanns in Mathematik und Physik, "die Welt als das erkenntnistheoretische Motiv..., die Welt aus ihrem Verhalten im un- endlich kleinen zu verstehen."

Differentialgeometrie von Kurven und Flächen

Author: Manfredo P. do Carmo

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3322850722

Category: Technology & Engineering

Page: 263

View: 9702

Inhalt: Kurven - Reguläre Flächen - Die Geometrie der Gauß-Abbildung - Die innere Geometrie von Flächen - Anhang

Differentialgeometrie, Topologie und Physik

Author: Mikio Nakahara

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3662453002

Category: Science

Page: 597

View: 8586

Differentialgeometrie und Topologie sind wichtige Werkzeuge für die Theoretische Physik. Insbesondere finden sie Anwendung in den Gebieten der Astrophysik, der Teilchen- und Festkörperphysik. Das vorliegende beliebte Buch, das nun erstmals ins Deutsche übersetzt wurde, ist eine ideale Einführung für Masterstudenten und Forscher im Bereich der theoretischen und mathematischen Physik. - Im ersten Kapitel bietet das Buch einen Überblick über die Pfadintegralmethode und Eichtheorien. - Kapitel 2 beschäftigt sich mit den mathematischen Grundlagen von Abbildungen, Vektorräumen und der Topologie. - Die folgenden Kapitel beschäftigen sich mit fortgeschritteneren Konzepten der Geometrie und Topologie und diskutieren auch deren Anwendungen im Bereich der Flüssigkristalle, bei suprafluidem Helium, in der ART und der bosonischen Stringtheorie. - Daran anschließend findet eine Zusammenführung von Geometrie und Topologie statt: es geht um Faserbündel, characteristische Klassen und Indextheoreme (u.a. in Anwendung auf die supersymmetrische Quantenmechanik). - Die letzten beiden Kapitel widmen sich der spannendsten Anwendung von Geometrie und Topologie in der modernen Physik, nämlich den Eichfeldtheorien und der Analyse der Polakov'schen bosonischen Stringtheorie aus einer gemetrischen Perspektive. Mikio Nakahara studierte an der Universität Kyoto und am King’s in London Physik sowie klassische und Quantengravitationstheorie. Heute ist er Physikprofessor an der Kinki-Universität in Osaka (Japan), wo er u. a. über topologische Quantencomputer forscht. Diese Buch entstand aus einer Vorlesung, die er während Forschungsaufenthalten an der University of Sussex und an der Helsinki University of Sussex gehalten hat.


Grundlagen und Anwendungen

Author: Thom Frühwirth,Slim Abdennadher

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3642591159

Category: Mathematics

Page: 165

View: 5254

Das Buch gibt einen kompakten, aber umfassenden Überblick über das Problemlösen und Programmieren mit "Constraints" (Randbedingungen). Diese aktuelle Programmiermethodik ermöglicht es, Aufgaben direkt zu formulieren und effizient zu lösen. Sie gewinnt zusehends Bedeutung in Anwendungsbereichen wie Kombinatorische Suchprobleme (z.B. Zeitplanen, Layout-Optimierung), Berechnungen (Finanzanalyse), Simulation (Hardware-Verifikation) oder allgemein Schließen und Rechnen mit ungenauer oder unvollständiger Information (z.B. Kostenschätzung). Die theoretisch fundierte Darstellung mit Aufgaben und Anwendungsbeispielen aus der Praxis ist in der Lehre erprobt, aber auch für Forscher und Praktiker von Nutzen.

Eindeutige Analytische Funktionen

Author: Rolf Nevanlinna

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3662068427

Category: Mathematics

Page: 379

View: 8649

Die eindeutigen analytischen Funktionen können von verschiedenen Gesichtspunkten aus untersucht werden. Die in der vorliegenden Arbeit zur Darstellung gelangenden Fragen gruppieren sich um ein großes Hauptproblem. Einige allgemeine Bemerkungen über diese zentrale Fragestellung sollen hier vorausgeschickt werden. Wir denken uns ein gegebenes analytisches Funktionselement un beschränkt fortgesetzt. Angenommen, daß die so entstehende analytische Funktion w = w (z) eindeutig ist, existiert ein schlichtes Gebiet G mit z nachstehenden Eigenschaften. 1. Jedem inneren Punkt z von G entspricht ein und nur ein Element z von rationalem Charakter der Funktion w(z). 2. Jeder Randpunkt z* von G ist eine wesentliche Singularität z von w(z). Falls G die ganze geschlossene Ebene umfaßt (elliptischer Fall), z so ist w (z) eine rationale Funktion. Schließt man diesen einfachsten Sonderfall aus, so hat man zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem G z einfach oder mehrfach rusammenhängend ist. Wir beschränken uns auf den erstgenannten Fa}! und haben dann weitere zwei Möglichkeiten zu berücksichtigen: die Berandung r von G ist entweder ein Punkt z z (parabolischer Fall) oder ein Kontinuum (hyperbolischer Fall). Das Gebiet G wird durch die Funktion w = w (z) auf eine über der z w-Ebene ausgebreitete RIEMANNSche Fläche G .konform abgebildet. to Die Umkehrfunktion z = z(w) von w(z) ist eine auf dieser Fläche G to eindeutige und wegen der Eindeutigkeit von w (z) einwertige Funktion, d. h. den Mittelpunkten von zwei verschiedenen Elementen von z(w) sind stets zwei verschiedene Punkte z zugeordnet.

Mathematik und Technologie

Author: Christiane Rousseau,Yvan Saint-Aubin

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3642300928

Category: Mathematics

Page: 609

View: 4031

Zusammen mit der Abstraktion ist die Mathematik das entscheidende Werkzeug für technologische Innovationen. Das Buch bietet eine Einführung in zahlreiche Anwendungen der Mathematik auf dem Gebiet der Technologie. Meist werden moderne Anwendungen dargestellt, die heute zum Alltag gehören. Die mathematischen Grundlagen für technologische Anwendungen sind dabei relativ elementar, was die Leistungsstärke der mathematischen Modellbildung und der mathematischen Hilfsmittel beweist. Mit zahlreichen originellen Übungen am Ende eines jeden Kapitels.

Internet der Dienste

Author: Lutz Heuser,Wolfgang Wahlster

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3642215076

Category: Computers

Page: 176

View: 2397

Die Vereinfachung des Zugangs zu Informationen im Internet als Grundlagen für die Entwicklung neuer Dienstleistungen ist wesentliches Ziel des vom Bundesministerium für Wirtschaft und Technologie initiierten Forschungsprogramms THESEUS, welches von 2007 bis 2012 geplant ist. Am 14. September 2010 brachte acatech – Deutsche Akademie der Technikwissenschaften im Rahmen des Symposiums "Internet der Dienste" Experten aus Wissenschaft und Wirtschaft zusammen, die gemeinsam die Zwischenergebnisse des Forschungsprogramms sowie deren mögliche Umsetzung in innovative Anwendungen für den Standort Deutschland diskutierten. acatech möchte mit diesem Symposium deutlich machen, dass das Internet der Dienste und Dienstleistungen eine der zentralen Bestandteile des zukünftigen Internets sein wird.

Vorlesungen Über die Zahlentheorie der Quaternionen

Author: Adolf Hurwitz

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3642475361

Category: Mathematics

Page: 76

View: 1230

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.