What is Mathematics, Really?

Author: Reuben Hersh

Publisher: Oxford University Press, USA

ISBN: 9780195130874

Category: Mathematics

Page: 343

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Reflecting an insider's view of mathematical life, the author argues that mathematics must be historically evolved, and intelligible only in a social context.

Was ist Mathematik?

Author: Richard Courant,Herbert Robbins

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3662000539

Category: Mathematics

Page: N.A

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47 brauchen nur den Nenner n so groß zu wählen, daß das Intervall [0, IJn] kleiner wird als das fragliche Intervall [A, B], dann muß mindestens einer der Brüche m/n innerhalb des Intervalls liegen. Also kann es kein noch so kleines Intervall auf der Achse geben, das von rationalen Punkten frei wäre. Es folgt weiterhin, daß es in jedem Intervall unendlich viele rationale Punkte geben muß; denn wenn es nur eine endliche Anzahl gäbe, so könnte das Intervall zwischen zwei beliebigen benachbarten Punkten keine rationalen Punkte enthalten, was, wie wir eben sahen, unmöglich ist. § 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff 1. Einleitung Vergleicht man zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer Größe, so kann es vor kommen, daß a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt. In diesem Fall können wir das Maß der Strecke b durch das von a ausdrücken, indem wir sagen, daß die Länge von b das r-fache der Länge von a ist.

Erfahrung Mathematik

Author: P.J. Davis,R. Hersh

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3034850409

Category: Science

Page: 466

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ie ältesten uns bekannten mathematischen Schriftta D feln stammen aus der Zeit um 2400 v. ehr. ; aber wir dürfen davon ausgehen, daß das Bedürfnis, Mathematik zu schaffen, ein Ausdruck der menschlichen Zivilisation an sich ist. In vier bis fünf Jahrtausenden hat sich ein gewalti ges System von Praktiken und Begriffen - die Mathematik herangebildet, die in vielfältiger Weise mit unserem Alltag verknüpft ist. Was ist Mathematik? Was bedeutet sie? Wo mit befaßt sie sich? Was sind ihre Methoden? Wie wird sie geschaffen und benützt? Wo ist ihr Platz in der Vielgestalt der menschlichen Erfahrung? Welchen Nutzen bringt sie? Was für Schaden richtet sie an? Welches Gewicht kommt ihr zu? Diese schwierigen Fragen werden noch zusätzlich kompliziert durch die Fülle des Materials und die weitver zweigten Querverbindungen, die es dem einzelnen verun möglichen, alles zu begreifen, geschweige denn, es in seiner Gesamtheit zu erfassen und zwischen den Deckeln eines normalen Buches unterzubringen. Um von dieser Material fülle nicht erdrückt zu werden, haben sich die Autoren für eine andere Betrachtungsweise entschieden. Die Mathema tik ist seit Tausenden von Jahren ein Feld menschlicher Ak tivität. In begrenztem Rahmen ist jeder von uns ein Mathe matiker und betreibt bewußt Mathematik, wenn er zum Beispiel auf dem Markt einkauft, Tapeten ausmißt oder ei nen Keramiktopf mit einem regelmäßigen Muster verziert. In bescheidenem Ausmaß versucht sich auch jeder von uns als mathematischer Denker. Schon mit dem Ausruf «Aber Zahlen lügen nicht!» befinden wir uns in der Gesellschaft von Plato oder Lakatos.

Loving and Hating Mathematics

Challenging the Myths of Mathematical Life

Author: Reuben Hersh,Vera John-Steiner

Publisher: Princeton University Press

ISBN: 9781400836116

Category: Mathematics

Page: 432

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Mathematics is often thought of as the coldest expression of pure reason. But few subjects provoke hotter emotions--and inspire more love and hatred--than mathematics. And although math is frequently idealized as floating above the messiness of human life, its story is nothing if not human; often, it is all too human. Loving and Hating Mathematics is about the hidden human, emotional, and social forces that shape mathematics and affect the experiences of students and mathematicians. Written in a lively, accessible style, and filled with gripping stories and anecdotes, Loving and Hating Mathematics brings home the intense pleasures and pains of mathematical life. These stories challenge many myths, including the notions that mathematics is a solitary pursuit and a "young man's game," the belief that mathematicians are emotionally different from other people, and even the idea that to be a great mathematician it helps to be a little bit crazy. Reuben Hersh and Vera John-Steiner tell stories of lives in math from their very beginnings through old age, including accounts of teaching and mentoring, friendships and rivalries, love affairs and marriages, and the experiences of women and minorities in a field that has traditionally been unfriendly to both. Included here are also stories of people for whom mathematics has been an immense solace during times of crisis, war, and even imprisonment--as well as of those rare individuals driven to insanity and even murder by an obsession with math. This is a book for anyone who wants to understand why the most rational of human endeavors is at the same time one of the most emotional.

Experiencing Mathematics

What Do We Do, when We Do Mathematics?

Author: Reuben Hersh

Publisher: American Mathematical Soc.

ISBN: 082189420X

Category: Mathematics

Page: 282

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The question ``What am I doing?'' haunts many creative people, researchers, and teachers. Mathematics, poetry, and philosophy can look from the outside sometimes as ballet en pointe, and at other times as the flight of the bumblebee. Reuben Hersh looks at mathematics from the inside; he collects his papers written over several decades, their edited versions, and new chapters in his book Experiencing Mathematics, which is practical, philosophical, and in some places as intensely personal as Swann's madeleine. --Yuri Manin, Max Planck Institute, Bonn, Germany What happens when mid-career a mathematician unexpectedly becomes philosophical? These lively and eloquent essays address the questions that arise from a crisis of reflectiveness: What is a mathematical proof and why does it come after, not before, mathematical revelation? Can mathematics be both real and a human artifact? Do mathematicians produce eternal truths, or are the judgments of the mathematical community quasi-empirical and historically framed? How can we be sure that an infinite series that seems to converge really does converge? This collection of essays by Reuben Hersh makes an important contribution. His lively and eloquent essays bring the reality of mathematical research to the page. He argues that the search for foundations is misleading, and that philosophers should shift from focusing narrowly on the deductive structure of proof, to tracing the broader forms of quasi-empirical reasoning that star the history of mathematics, as well as examining the nature of mathematical communities and how and why their collective judgments evolve from one generation to the next. If these questions keep you up at night, then you should read this book. And if they don't, then you should read this book anyway, because afterwards, they will! --Emily Grosholz, Department of Philosophy, Penn State, Pennsylvania, USA Most mathematicians, when asked about the nature and meaning of mathematics, vacillate between the two unrealistic poles of Platonism and formalism. By looking carefully at what mathematicians really do when they are doing mathematics, Reuben Hersh offers an escape from this trap. This book of selected articles and essays provides an honest, coherent, and clearly understandable account of mathematicians' proof as it really is, and of the existence and reality of mathematical entities. It follows in the footsteps of Poincare, Hadamard, and Polya. The pragmatism of John Dewey is a better fit for mathematical practice than the dominant ``analytic philosophy''. Dialogue, satire, and fantasy enliven the philosophical and methodological analysis. Reuben Hersh has written extensively on mathematics, often from the point of view of a philosopher of science. His book with Philip Davis, The Mathematical Experience, won the National Book Award in science. Hersh is emeritus professor of mathematics at the University of New Mexico.

Der Vierfarbensatz

Geschichte, topologische Grundlagen, und Beweisidee

Author: Rudolf Fritsch

Publisher: N.A

ISBN: 9783411151417

Category: Four-color problem

Page: 251

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Meaning in Mathematics

Author: John Polkinghorne

Publisher: Oxford University Press

ISBN: 019960505X

Category: Mathematics

Page: 159

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Is mathematics invented or discovered? Why does this seemingly abstract discipline provide the key to unlocking the deep secrets of the physical universe? Famous mathematicians, mathematical physicists and philosophers of mathematics try to answer these questions in a series of accessible chapters that shed light on what mathematics really means.

18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics

Author: Reuben Hersh

Publisher: Springer Science & Business Media

ISBN: 0387298312

Category: Mathematics

Page: 326

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Collection of the most interesting recent writings on the philosophy of mathematics written by highly respected researchers from philosophy, mathematics, physics, and chemistry Interdisciplinary book that will be useful in several fields—with a cross-disciplinary subject area, and contributions from researchers of various disciplines

Ist Gott ein Mathematiker?

Warum das Buch der Natur in der Sprache der Mathematik geschrieben ist

Author: Mario Livio

Publisher: C.H.Beck

ISBN: 3406616607

Category: Mathematics

Page: 366

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Von der Antike bis in unsere Tage haben sich Wissenschaftler und Philosophen darüber gewundert, dass eine so abstrakte Disziplin wie die Mathematik die Natur derart perfekt erklären kann. Sogar mehr als das: Mathematiker haben oft Voraussagen gemacht, etwa über die Existenz bestimmter Teilchen, die sich später als richtig erwiesen haben. Was ist es, das der Mathematik solch unglaubliche Macht verleiht? Oder, wie Einstein sich einst fragte: „Wie ist es möglich, dass die Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung unabhängiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstände der Welt so vortrefflich passt?“ Werden mathematische Erkenntnisse also nicht erfunden, sondern entdeckt? Diese Fragestellung bildet den roten Faden, an dem der Astrophysiker Mario Livio mit großer Lebendigkeit durch die Geistesgeschichte des mathematischen und naturwissenschaftlichen Denkens führt. Zugleich wirft sein Buch einen frischen und unterhaltsamen Blick auf die Lebensgeschichte und die Erkenntnisse großer Denker wie Pythagoras, Platon, Newton und Einstein. „Eine lebendige und faszinierende Lektüre für ein breites Publikum“ – Nature

Das BUCH der Beweise

Author: Martin Aigner,Günter M. Ziegler

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3662577674

Category: Mathematics

Page: 360

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Diese fünfte deutsche Auflage enthält ein ganz neues Kapitel über van der Waerdens Permanenten-Vermutung, sowie weitere neue, originelle und elegante Beweise in anderen Kapiteln. Aus den Rezensionen: “... es ist fast unmöglich, ein Mathematikbuch zu schreiben, das von jedermann gelesen und genossen werden kann, aber Aigner und Ziegler gelingt diese Meisterleistung in virtuosem Stil. [...] Dieses Buch erweist der Mathematik einen unschätzbaren Dienst, indem es Nicht-Mathematikern vorführt, was Mathematiker meinen, wenn sie über Schönheit sprechen.” Aus der Laudatio für den “Steele Prize for Mathematical Exposition” 2018 "Was hier vorliegt ist eine Sammlung von Beweisen, die in das von Paul Erdös immer wieder zitierte BUCH gehören, das vom lieben (?) Gott verwahrt wird und das die perfekten Beweise aller mathematischen Sätze enthält. Manchmal lässt der Herrgott auch einige von uns Sterblichen in das BUCH blicken, und die so resultierenden Geistesblitze erhellen den Mathematikeralltag mit eleganten Argumenten, überraschenden Zusammenhängen und unerwarteten Volten." www.mathematik.de, Mai 2002 "Eine einzigartige Sammlung eleganter mathematischer Beweise nach der Idee von Paul Erdös, verständlich geschrieben von exzellenten Mathematikern. Dieses Buch gibt anregende Lösungen mit Aha-Effekt, auch für Nicht-Mathematiker." www.vismath.de "Ein prächtiges, äußerst sorgfältig und liebevoll gestaltetes Buch! Erdös hatte die Idee DES BUCHES, in dem Gott die perfekten Beweise mathematischer Sätze eingeschrieben hat. Das hier gedruckte Buch will eine "very modest approximation" an dieses BUCH sein.... Das Buch von Aigner und Ziegler ist gelungen ..." Mathematische Semesterberichte, November 1999 "Wer (wie ich) bislang vergeblich versucht hat, einen Blick ins BUCH zu werfen, wird begierig in Aigners und Zieglers BUCH der Beweise schmökern." www.mathematik.de, Mai 2002

Unser mathematisches Universum

Auf der Suche nach dem Wesen der Wirklichkeit

Author: Max Tegmark

Publisher: Ullstein eBooks

ISBN: 3843710783

Category: Mathematics

Page: 520

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„Max Tegmark, Prophet der Parallelwelten, flirtet mit der Unendlichkeit.“ ULF VON RAUCHHAUPT, FRANKFURTER ALLGEMEINE SONNTAGSZEITUNG WORUM GEHT ES? Max Tegmark entwickelt eine neue Theorie des Kosmos: Das Universum selbst ist reine Mathematik. In diesem Buch geht es um die physikalische Realität des Kosmos, um den Urknall und die „Zeit davor“ und um die Evolution des Weltalls. Welche Rollen spielen wir dabei – die Wesen, die klug genug sind, das alles verstehen zu wollen? Tegmark findet, dieses Terrain sollte nicht länger den Philosophen überlassen bleiben. Denn die Physiker von heute haben die besseren Antworten auf die ewigen Fragen. WAS IST BESONDERS? „Eine hinreißende Expedition, die jenseits des konventionellen Denkens nach der wahren Bedeutung von Realität sucht.“ BBC „Tegmark behandelt die großen Fragen der Kosmologie und der Teilchenphysik weitaus verständlicher als Stephen Hawking.“ THE TIMES WER LIEST? • Jeder, der das Universum verstehen will • Die Leser von Richard Dawkins und Markus Gabriel

Professor Stewarts mathematische Schätze

Author: Ian Stewart

Publisher: Rowohlt Verlag GmbH

ISBN: 3644017115

Category: Mathematics

Page: 432

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Was war noch mal die Catalan’sche Vermutung? Und woher kommt eigentlich das Wurzelsymbol? Was hat die Zahl Pi mit dem Sternenhimmel zu tun? Wer erfand das Gleichheitszeichen? Der britische Matheguru Ian Stewart breitet in diesem Band Schätze aus, die er in Jahrzehnten gesammelt hat: über 180 interessante Matherätsel, Lösungen, Spiele, Tricks, Geschichten, Anekdoten und Logeleien. Zudem ist Stewarts Schatztruhe mit interessanten historischen Exkursen angereichert, zum Beispiel einer kurzen Einführung in das Rechnen der Maya und der alten Ägypter und auch in die Vergangenheit unseres eigenen Rechnens: Wer erfand das Gleichheitszeichen – und warum? Ein Buch zum Blättern und Stöbern, zum Spaßhaben und Dazulernen, für Laien und für Fortgeschrittene.

Unglaubliche Zahlen

Author: Ian Stewart

Publisher: Rowohlt Verlag GmbH

ISBN: 3644564310

Category: Mathematics

Page: 448

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In diesem Buch nimmt der britische Mathe-Guru seine Leser mit auf eine Reise durch das Reich der Zahlen – reelle, rationale, irrationale, komplexe; ganz, ganz kleine und unendlich große, Fraktale, Logarithmen, Hochzahlen, Primzahlen, Kusszahlen und viele mehr. Jedes Kapitel konzentriert sich auf eine Zahl oder Zahlengruppe und erläutert, warum sie so interessant ist. «Jede Zahl hat ihre eigene Geschichte zu erzählen», heißt es im Vorwort. Stewart erzählt sie mit Begeisterung und versteht es geschickt, diese Geschichten miteinander zu verweben, ob es um die Zahl Pi geht oder zum Schluss auch um Geheimcodes, den Rubikwürfel und Sudoku. Darüber hinaus erfährt man viel über die Geschichte der Mathematik und die Rolle, die sie für unsere Entwicklung spielt. Schließlich waren es die Zahlen, so der Autor, «die es der Menschheit ermöglicht haben, sich aus dem Schlamm zu ziehen und nach den Sternen zu greifen».

Proceedings of the 13th International Congress on Mathematical Education

ICME-13

Author: Gabriele Kaiser

Publisher: Springer

ISBN: 3319625977

Category: Education

Page: 766

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This book is open access under a CC BY 4.0 license. The book presents the Proceedings of the 13th International Congress on Mathematical Education (ICME-13) and is based on the presentations given at the 13th International Congress on Mathematical Education (ICME-13). ICME-13 took place from 24th- 31st July 2016 at the University of Hamburg in Hamburg (Germany). The congress was hosted by the Society of Didactics of Mathematics (Gesellschaft für Didaktik der Mathematik - GDM) and took place under the auspices of the International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). ICME-13 brought together about 3.500 mathematics educators from 105 countries, additionally 250 teachers from German speaking countries met for specific activities. Directly before the congress activities were offered for 450 Early Career Researchers. The proceedings give a comprehensive overview on the current state-of-the-art of the discussions on mathematics education and display the breadth and deepness of current research on mathematical teaching-and-learning processes. The book introduces the major activities of ICME-13, namely articles from the four plenary lecturers and two plenary panels, articles from the five ICMI awardees, reports from six national presentations, three reports from the thematic afternoon devoted to specific features of ICME-13. Furthermore, the proceedings contain descriptions of the 54 Topic Study Groups, which formed the heart of the congress and reports from 29 Discussion Groups and 31 Workshops. The additional important activities of ICME-13, namely papers from the invited lecturers, will be presented in the second volume of the proceedings.